Exercícios e Atividades de Razão e Proporção - Segmentos - Polígonos - Densidades - o "PI"

Razão:
Do latim "ratio", significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotada por:

A B

Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:

12 3	= 4

e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:

3 6	= 0,5

A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:

A B	= A/B

Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.

Líquido	Situação1	Situação2	Situação3	Situação4
Suco puro	3	6	8	30
Água	8	16	32	80
Suco pronto	11	22	40	110

Na Situação 1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litros de suco pronto.
Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24 litros de suco pronto.
Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.

Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.

10 : 20 = 1 : 2 = 0,5

Proporções

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:

A B	=	C D

Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma

6:3::8:4.

Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.

Propriedade fundamental das proporções

Numa proporção:

A B	=	C D

os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A · D = B · C

Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:

3 4	=	6 8

Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.
Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:

x 3	=	4 6

Para obter X=2.

Razões e Proporções de Segmentos

Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.

A________B,    C ______________ D

Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas.

m(AB) m(CD)	=	2 4

Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 2 ou que CD está para AB na razão de 2 para 1.

Polígonos Semelhantes

Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.
Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.

Triangulos - trigonometria

Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS=5/(2,5)=2   BC/ST=4/2=2   AC/RT=3/(1,5)=2

Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :

ABC ~ DEF

Figuras Semelhantes

Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentes congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da outra. Isto significa que existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de deformação. A figura final e a figura original são chamadas figuras semelhantes.
As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.
Exemplo: Nos triângulos 

Trigonometria - triângulos

observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S e C=T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2

Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes e indicamos por:

ABC ~ DEF

Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.

Mapas do Brasil

Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O primeiro mapa é uma ampliação do segundo, ou o segundo é uma redução do primeiro mapa. 

Aplicações práticas das razões

Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.

1 - Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).

vmédia = distância percorrida / tempo gasto 

Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?

Carro fórmula 1

A partir dos dados do problema, teremos:

vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/ho que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.

2 - Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho à razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade.

escala = comprimento no desenho / comprimento realUsamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.
Exemplo: Observemos as figuras dos barcos: 

Trigonometria - barcos

Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4

Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8

Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.

3 - Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica, também chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região.
Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.
Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:

dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km²

densidade demográfica = 60 habitantes/ Km2Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.

4 - Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é mais uma aplicação de razão entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seu volume, medido em m³, dm³ ou qualquer outra unidade de volume.
Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75 kg/dm³ então para cada dm³ há uma massa de 8,75 kg.

Curiosidade:Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam.

Densidade recipientes trigonometria

Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. Algumas substâncias e suas densidades estão na tabela abaixo:

Substância

Densidade [g/cm³] 

madeira 0,5 

gasolina 0,7 

álcool  0,8 

alumínio 2,7 

ferro 7,8 

mercúrio 13,6 

5 - Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda circunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente:

Pi = 3,1415926535Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da circunferência, temos uma razão notável:

C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...significando que

C = Pi . DExemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5cm então o perímetro da circunferência é igual a 9,43cm.

Razão:
Do latim "ratio", significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotada por:

A B

Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:

12 3	= 4

e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:

3 6	= 0,5

A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:

A B	= A/B

Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.

Líquido	Situação1	Situação2	Situação3	Situação4
Suco puro	3	6	8	30
Água	8	16	32	80
Suco pronto	11	22	40	110

Na Situação 1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litros de suco pronto.
Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24 litros de suco pronto.
Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.

Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.

10 : 20 = 1 : 2 = 0,5

Proporções

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:

A B	=	C D

Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma

6:3::8:4.

Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.

Propriedade fundamental das proporções

Numa proporção:

A B	=	C D

os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A · D = B · C

Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:

3 4	=	6 8

Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.
Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:

x 3	=	4 6

Para obter X=2.

Razões e Proporções de Segmentos

Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.

A________B,    C ______________ D

Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas.

m(AB) m(CD)	=	2 4

Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 2 ou que CD está para AB na razão de 2 para 1.

Polígonos Semelhantes

Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.
Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.

Triangulos - trigonometria

Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS=5/(2,5)=2   BC/ST=4/2=2   AC/RT=3/(1,5)=2

Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :

ABC ~ DEF

Figuras Semelhantes

Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentes congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da outra. Isto significa que existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de deformação. A figura final e a figura original são chamadas figuras semelhantes.
As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.
Exemplo: Nos triângulos 

Trigonometria - triângulos

observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S e C=T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2

Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes e indicamos por:

ABC ~ DEF

Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.

Mapas do Brasil

Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O primeiro mapa é uma ampliação do segundo, ou o segundo é uma redução do primeiro mapa. 

Aplicações práticas das razões

Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.

1 - Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).

vmédia = distância percorrida / tempo gasto 

Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?

Carro fórmula 1

A partir dos dados do problema, teremos:

vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/ho que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.

2 - Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho à razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade.

escala = comprimento no desenho / comprimento realUsamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.
Exemplo: Observemos as figuras dos barcos: 

Trigonometria - barcos

Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4

Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8

Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.

3 - Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica, também chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região.
Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.
Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:

dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km²

densidade demográfica = 60 habitantes/ Km2Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.

4 - Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é mais uma aplicação de razão entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seu volume, medido em m³, dm³ ou qualquer outra unidade de volume.
Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75 kg/dm³ então para cada dm³ há uma massa de 8,75 kg.

Curiosidade:Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam.

Densidade recipientes trigonometria

Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. Algumas substâncias e suas densidades estão na tabela abaixo:

Substância

Densidade [g/cm³] 

madeira 0,5 

gasolina 0,7 

álcool  0,8 

alumínio 2,7 

ferro 7,8 

mercúrio 13,6 

5 - Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda circunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente:

Pi = 3,1415926535Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da circunferência, temos uma razão notável:

C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...significando que

C = Pi . DExemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5cm então o perímetro da circunferência é igual a 9,43cm.